高中数学选修2-1新教学案:2.3.1双曲线及其标准方程

发布时间:2021-11-25 15:57:46

选修 2-1 2.3.1 双曲线及其标准方程(学案)

【知识要点】 1.双曲线定义; 2.双曲线的焦点、焦距; 3.双曲线的标准方程.
【学*要求】 1. 了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.

【预*提纲】

(根据以下提纲,预*教材第 52 页~第 55 页)

1.我们把

轨迹叫做双曲线.两个顶点 叫做双曲线的焦点,

义中的“常数”常用 表示,焦距常用

2.在双曲线定义中,要求常数 2a ? F1F2 ,为什么要加这一条件?若 2a ? F1F2 ,动点的轨

迹是

;若 2a ? F1F2 ,动点的轨迹是

3.若双曲线的焦点在 x 轴上,标准方程为

4.双曲线标准方程中, a, b, c 之间的关系为

5.阅读例1、例 2 ,完成课后(第 55 页)练*.
【基础练*】
1.已知 F1 (?3,0), F2 ?3,0?,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 4 ,则 P 的轨迹是( ).
(A)双曲线 (B)双曲线一支 (C)直线 (D)一条射线
2.已知 A?0,?4?, B?0,4?, PA ? PB ? 2a ,当 a ? 3 和 4 时,点 P 轨迹为( ).

(A)双曲线和一条直线 (C)双曲线一支和一条直线

表示.

.

(B)双曲线和两条射线 (D)双曲线一支和一条射线

3.已知顶点 F1 (?2,0), F2 ?2,0?,在满足下列条件的*面内动点 P 的轨迹中,为双曲线

是( ).

(A) PF1 ? PF2 ? 3

(C) PF1 ? PF2 ? 4

(B) PF1 ? PF2 ? 5

(D) PF1 2 ? PF2 2 ? ?4

1

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电,力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决,机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配,料置而试时且卷,可调需保控要障试在各验最类;大管对限路设度*备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安,与全要过,加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料;中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整,中核或资对者料定对试值某卷,些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置,卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线,高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试,高方要中案求资,技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高,料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术,以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案,中;为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中,料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工,置作合调并理试且利技进用术行管,过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指:灵导在活。分。对线对于盒于调处差试,动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术,调问应试题采技,用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一,隔变需开压要处器在理组事;在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资,障料强时、电,设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具*源高题高中电中资源资料,料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与,采相要用关进高技行中术检资资查料料和试,检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

的点的 叫做双曲线的焦距.双曲线定

;若焦点在 y 轴上,标准方程为

.

.

4.在双曲线方程中,已知 a ? 6, b ? 8 ,则其方程是( ).

x2
(A)

?

36 64

(C) y 2 ? x 2 ? 1 36 64

y2

?1

x2
(B)

x2
(D)

?

64 36

【典型例题】
例 1 在 ?MNG 中,已知 NG ? 4 ,当动点 M 满足条件 sin G ? sin N ? 1 sin M 时,求动 2
点 M 的轨迹方程.

变式训练 1:在 ?ABC 中,已知 AB ? 4 2 ,且三内角 A 、 B 、 C 满足 2 sin A ? sin C ? 2 sin B ,建立适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程.
例 2 当 00 ? ? ? 1800 时,方程 x 2 cos? ? y 2 sin ? ? 1表示的曲线怎样变化?
2

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电,力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决,机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配,料置而试时且卷,可调需保控要障试在各验最类;大管对限路设度*备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安,与全要过,加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料;中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整,中核或资对者料定对试值某卷,些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置,卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线,高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试,高方要中案求资,技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高,料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术,以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案,中;为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中,料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工,置作合调并理试且利技进用术行管,过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指:灵导在活。分。对线对于盒于调处差试,动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术,调问应试题采技,用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一,隔变需开压要处器在理组事;在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资,障料强时、电,设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具*源高题高中电中资源资料,料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与,采相要用关进高技行中术检资资查料料和试,检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

?

36 64

y2

y2

?1

?1或

y2

?

36 64

x2

?1

变式训练 2: k ? 9 ,是方程 x 2 ? y 2 ? 1 表示双曲线的 9?k k?4

1.已知方程 x 2 ? y 2 ? 1表示双曲线,则 k 的取值范围是(

1? k 1?k

(A) ?1 ? k ? 1 (B) k ? 0 (C) k ? 0 (D) k ? 1或k ? ?1

2.在方程 mx 2 ? my 2 ? n 中,若 mn ? 0 ,则方程的曲线是( ).

(A)焦点在 x 轴上的椭圆 (C)焦点在 y 轴上的椭圆

x2
3.双曲线

?

16 9

y2

(B)焦点在 x 轴上的双曲线 (D)焦点在 y 轴上的双曲线

? 1 上的点 P 到点 ?5,0?的距离是15 ,则 P 到 ?? 5,0?的距离是(

(A) 7 (B) 23 (C) 5或25 (D) 7或23
4.双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点是 ?0,3?,则 k 的值是( ).

(A)1 (B) ? 1 (C) 2 (D) 5 5
5.设椭圆 C1 离心率为 13 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26 .若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两 个焦点的距离差的绝对值等于 8 ,则曲线 C2 的标准方程为( ).

x2
(A)

x2
(C)

?

16 9

?

9 16

y2

y2

x2
6.已知双曲线的方程为

?1

?1

?

a2 b2

y2

(B) x 2 ? y 2 ? 1 169 25

(D) x 2 ? y 2 ? 1 169 144

? 1,点 A 、 B 在双曲线的右支上,线段 AB 经过右焦点

3

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电,力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决,机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配,料置而试时且卷,可调需保控要障试在各验最类;大管对限路设度*备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安,与全要过,加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料;中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整,中核或资对者料定对试值某卷,些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置,卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线,高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试,高方要中案求资,技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高,料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术,以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案,中;为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中,料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工,置作合调并理试且利技进用术行管,过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指:灵导在活。分。对线对于盒于调处差试,动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术,调问应试题采技,用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一,隔变需开压要处器在理组事;在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资,障料强时、电,设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具*源高题高中电中资源资料,料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与,采相要用关进高技行中术检资资查料料和试,检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

条件.

).

).

F2 , AB ? m, F1 为另一焦点,则 ?ABF1 周长为( ).

(A) 2a ? 2m (B) 4a ? 2m (C) a ? m (D) 2a ? 4m

x2
7.若方程

?

9?m 4?m

x2 8.已知 F1, F2 是双曲线 16

600 ,那么 PF2 ? QF2 ? PQ 为

y2

9.双曲线 2x 2 ? y 2 ? k 的焦距是 6 ,求 k .

? 1表示焦点在 x 轴上的双曲线,则实数 m 的取值范围是

?

y2 9

? 1 的焦点, PQ 是过焦点 F1 的弦,且 PQ 的倾斜角为

10.已知顶点 A?3,0?和定圆 C : ?x ? 3?2 ? y 2 ? 16 ,动圆和圆 C 相外切,并且过点 A ,求
动圆圆心 P 的轨迹方程.

.

1.如果双曲线的焦点在坐标轴上,并且关于原点对称,那么双曲线的方程式标准的,否则
是不标准的.求双曲线的标准方程就是求 a 、 b ,并且判断焦点所在的坐标轴. a 、 b 、 c 之间的关系是 a 2 ? b2 ? c 2 .
4

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电,力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决,机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配,料置而试时且卷,可调需保控要障试在各验最类;大管对限路设度*备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安,与全要过,加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料;中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整,中核或资对者料定对试值某卷,些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置,卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线,高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试,高方要中案求资,技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高,料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术,以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案,中;为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中,料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工,置作合调并理试且利技进用术行管,过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指:灵导在活。分。对线对于盒于调处差试,动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术,调问应试题采技,用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一,隔变需开压要处器在理组事;在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资,障料强时、电,设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具*源高题高中电中资源资料,料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与,采相要用关进高技行中术检资资查料料和试,检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

.

2.当 P 满足 0 ? PF1 ? PF2 ? F1F2 时,点 P 的轨迹是双曲线一支;当

0 ? PF2 ? PF1 ? F1F2 时,点 P 的轨迹是双曲线的另一支;当 PF1 ? PF2 ? ? F1F2 时,

点 P 的轨迹是两条射线. PF1 ? PF2 不肯大于 F1F2 .

3.已知 PF1

求 PF2

理,并且对 PF1 ? PF2 ? ?a 进行*方.

可以利用 PF1

?

PF2

? ?a .已知 ?F1PF2

5

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电,力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决,机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配,料置而试时且卷,可调需保控要障试在各验最类;大管对限路设度*备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安,与全要过,加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料;中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整,中核或资对者料定对试值某卷,些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置,卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线,高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试,高方要中案求资,技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高,料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术,以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案,中;为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中,料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工,置作合调并理试且利技进用术行管,过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指:灵导在活。分。对线对于盒于调处差试,动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术,调问应试题采技,用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一,隔变需开压要处器在理组事;在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资,障料强时、电,设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具*源高题高中电中资源资料,料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与,采相要用关进高技行中术检资资查料料和试,检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

? ? 时,往往利用勾股定 2

选修 2-1 2.3.1 双曲线及其标准方程(教案)
【教学目标】 1.理解双曲线的定义,明确焦点、焦距的概念; 2.掌握双曲线的方程及其标准方程的推导;
【重点】双曲线的定义及其标准方程; 【难点】标准方程的推导及其应用;

【预*提纲】 (根据以下提纲,预*教材第 52 页~第 55 页)
1.我们把 *面内与两定点 F1, F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 )的点的
轨迹叫做双曲线.两个顶点 叫做双曲线的焦点, 两焦点间的距离 叫做双曲线的焦距.
双曲线定义中的“常数”常用 2a 表示,焦距常用 2c 表示. 2.在双曲线定义中,要求常数 2a ? F1F2 ,为什么要加这一条件?若 2a ? F1F2 ,动点的轨

迹是 两条射线

;若 2a ? F1F2 ,动点的轨迹是 不存在

3.若双曲线的焦点在 x 轴上,标准方程为 x 2 ? y 2 ? 1?a ? 0, b ? 0?
a2 b2

上,标准方程为

y2 a2

? x2 b2

? 1?a

4.双曲线标准方程中, a, b, c 之间的关系为 c 2 ? a 2 ? b2

? 0,b ? 0?

5.阅读例1、例 2 ,完成课后(第 55 页)练*.
【基础练*】
1.已知 F1 (?3,0), F2 ?3,0?,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 4 ,则 P 的轨迹是( B ).
(A)双曲线 (B)双曲线一支 (C)直线 (D)一条射线
2.已知 A?0,?4?, B?0,4?, PA ? PB ? 2a ,当 a ? 3 和 4 时,点 P 轨迹为( D ).

(A)双曲线和一条直线 (C)双曲线一支和一条直线

(B)双曲线和两条射线 (D)双曲线一支和一条射线

3.已知顶点 F1 (?2,0), F2 ?2,0?,在满足下列条件的*面内动点 P 的轨迹中,为双曲线

是( A ).

(A) PF1 ? PF2 ? 3

(C) PF1 ? PF2 ? 4

(B) PF1 ? PF2 ? 5

.

(D) PF1 2 ? PF2 2 ? ?4
6

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电,力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决,机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配,料置而试时且卷,可调需保控要障试在各验最类;大管对限路设度*备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安,与全要过,加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料;中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整,中核或资对者料定对试值某卷,些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置,卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线,高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试,高方要中案求资,技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高,料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术,以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案,中;为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中,料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工,置作合调并理试且利技进用术行管,过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指:灵导在活。分。对线对于盒于调处差试,动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术,调问应试题采技,用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一,隔变需开压要处器在理组事;在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资,障料强时、电,设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具*源高题高中电中资源资料,料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与,采相要用关进高技行中术检资资查料料和试,检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

.

;若焦点在 y 轴

.

4.在双曲线方程中,已知 a ? 6, b ? 8 ,则其方程是( D ).

x2
(A)

?

36 64

(C) y 2 ? x 2 ? 1 36 64

y2

?1

x2
(B)

x2
(D)

?

64 36

【典型例题】
例 1 在 ?MNG 中,已知 NG ? 4 ,当动点 M 满足条件 sin G ? sin N ? 1 sin M 时,求动 2
点 M 的轨迹方程. 【审题要津】由题设条件可建立 M 的几何灯饰,进而求出 M 的轨迹方程.

解:以 NG 边所在的直线为 x 轴, NG 的垂直*分线为 y 轴,建立直角坐标系,则

N ?? 2,0?,G?2,0?,由正弦定理得 sin G ?

? sin G ? sin N ? 1 sin M , 2
? MN ? MG ? 1 ? 4 ? 2 ? 4 . 2
由双曲线的定义知,点 M 的轨迹为双曲线的右支,所以顶点 M 的轨迹方程是

x2 ? y 2 ? 1?x ? 1?.
3

【方法总结】寻找动点 M 的约束关系很关键.解答本题应注意:(1)将角的关系

MN

R

sin G ? sin N ? 1 sin M 换为距离关系 MN ? MG ? 1 NG ,联想双曲线的定义使问题简

2

化;(2)不可忽视三角形的条件,由点 M 、 N 、 G 不共线,除去点 ?1,0?.

变式训练 1:在 ?ABC 中,已知 AB ? 4 2 ,且三内角 A 、 B 、 C 满足

2 sin A ? sin C ? 2 sin B ,建立适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程.

【审题要津】由题设条件可建立 C 的几何灯饰,进而求出 C 的轨迹方程.

解:以 AB 边所在的直线为 x , AB 的垂直*分线为 y 轴,建立直角坐标系,则

A?? 2 2,0 ,?B?2 2,0?.由正弦定理得 sin A ? a ,sin B ? b ,sin C ? c .

? 2sin A ? sin C ? 2sin B ? 2a ? c ? 2b 即 b ? a ? c ,从而 2

CA ? CB ? 1 AB ? 2 2 ? AB . 2

由双曲线的定已知,点 C 的轨迹为双曲线的右支,

7

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电,力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决,机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配,料置而试时且卷,可调需保控要障试在各验最类;大管对限路设度*备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安,与全要过,加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料;中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整,中核或资对者料定对试值某卷,些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置,卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线,高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试,高方要中案求资,技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高,料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术,以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案,中;为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中,料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工,置作合调并理试且利技进用术行管,过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指:灵导在活。分。对线对于盒于调处差试,动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术,调问应试题采技,用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一,隔变需开压要处器在理组事;在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资,障料强时、电,设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具*源高题高中电中资源资料,料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与,采相要用关进高技行中术检资资查料料和试,检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

?

36 64

y2

,sin N

2R

y2

?1

?1或

?

2

y2

?

36 64

MG ,sin M

R

2R

x2

?1

?

NG

2R

R

,

? a ? 2, c ? 2 2,?b2 ? c 2 ? a 2 ? 6 .

所以顶点 C 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 1?x ? 2 ?. 26
【方法总结】寻找动点 C 的约束关系很关键.解答本题应注意:(1)将角的关系 2sin A ? sin C ? 2sin B 换为距离关系 CA ? CB ? 1 AB ,联想双曲线的定义使问题简化;
2
(2)不可忽视三角形的条件,由点 A 、 B 、 C 不共线,除去点 ? 2,0?.

例 2 当 00 ? ? ? 1800 时,方程 x 2 cos? ? y 2 sin ? ? 1表示的曲线怎样变化? 【审题要津】此题应对? 的取值范围进行讨论. 解:方程 x 2 cos? ? y 2 sin ? ? 1表示的轨迹是与参数? 相关的,因此要确定轨迹需对参数 ? 进行讨论. (1)当? ? 00 时,方程为 x 2 ? 1,它表示两条*行直线 x ? ?1.
(2)当 00 ? ? ? 450 时,它表示焦点在 y 轴上的椭圆.

(3)当? ? 450 时,它表示圆心在原点的圆.

(4)当 450 ? ? ? 900 时,它表示焦点在 x 轴上的椭圆.

(5)当? ? 900 时,方程为 y 2 ? 1,它表示两条*行直线 y ? ?1.

(6)当 900 ? ? ? 1800 时,它表示焦点在 x 轴上的双曲线.

(7)当? ? 1800 时,方程为 x 2 ? ?1,它不表示任何曲线.

【方法总结】分类讨论是解决数学问题的一个主要方法,解题时要善用之.

变式训练 2: k ? 9 ,是方程 x 2 ? y 2 ? 1 表示双曲线的 充分 9?k k?4

x2
1.已知方程

?

1? k 1?k

y2

? 1表示双曲线,则 k 的取值范围是(A

(A) ?1 ? k ? 1 (B) k ? 0 (C) k ? 0 (D) k ? 1或k ? ?1

2.在方程 mx 2 ? my 2 ? n 中,若 mn ? 0 ,则方程的曲线是( D ).

(A)焦点在 x 轴上的椭圆

(B)焦点在 x 轴上的双曲线

8

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电,力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决,机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配,料置而试时且卷,可调需保控要障试在各验最类;大管对限路设度*备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安,与全要过,加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料;中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整,中核或资对者料定对试值某卷,些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置,卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线,高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试,高方要中案求资,技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高,料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术,以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案,中;为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中,料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工,置作合调并理试且利技进用术行管,过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指:灵导在活。分。对线对于盒于调处差试,动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术,调问应试题采技,用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一,隔变需开压要处器在理组事;在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资,障料强时、电,设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具*源高题高中电中资源资料,料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与,采相要用关进高技行中术检资资查料料和试,检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

).

条件.

(C)焦点在 y 轴上的椭圆

x2
3.双曲线

?

16 9

y2

(D)焦点在 y 轴上的双曲线

? 1 上的点 P 到点 ?5,0?的距离是15 ,则 P 到 ?? 5,0?的距离是(

(A) 7 (B) 23 (C) 5或25 (D) 7或23
4.双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点是 ?0,3?,则 k 的值是( B ).

(A)1 (B) ? 1 (C) 2 (D) 5 5
5.设椭圆 C1 离心率为 13 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26 .若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两 个焦点的距离差的绝对值等于 8 ,则曲线 C2 的标准方程为( A ).

x2
(A)

x2
(C)

?

16 9

?

9 16

y2

y2

x2
6.已知双曲线的方程为

?1

?1

?

a2 b2

y2

F2 , AB ? m, F1 为另一焦点,则 ?ABF1 周长为( B ).

(A) 2a ? 2m (B) 4a ? 2m (C) a ? m (D) 2a ? 4m

x2
7.若方程

?

9?m 4?m

x2 8.已知 F1, F2 是双曲线 16

y2

600 ,那么 PF2 ? QF2 ? PQ 为 16

9.双曲线 2x 2 ? y 2 ? k 的焦距是 6 ,求 k .

(B) x 2 ? y 2 ? 1 169 25

(D) x 2 ? y 2 ? 1 169 144

? 1,点 A 、 B 在双曲线的右支上,线段 AB 经过右焦点

? 1表示焦点在 x 轴上的双曲线,则实数 m 的取值范围是 m ? 4 .

【审题要津】 关键点就是确定焦点在那个坐标轴上.

解:当 k ? 0 时, x 2 ? y 2 ? 1 , kk 2

c2 ? k ? k ? 3 k

2

?焦距为 6 ,? c ? 3 ,

?k ? 6.

2

?

y2 9

? 1 的焦点, PQ 是过焦点 F1 的弦,且 PQ 的倾斜角为

9

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电,力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决,机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配,料置而试时且卷,可调需保控要障试在各验最类;大管对限路设度*备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安,与全要过,加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料;中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整,中核或资对者料定对试值某卷,些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置,卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线,高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试,高方要中案求资,技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高,料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术,以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案,中;为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中,料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工,置作合调并理试且利技进用术行管,过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指:灵导在活。分。对线对于盒于调处差试,动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术,调问应试题采技,用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一,隔变需开压要处器在理组事;在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资,障料强时、电,设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具*源高题高中电中资源资料,料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与,采相要用关进高技行中术检资资查料料和试,检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

.

D

).

当 k ? 0 时, y 2 ? x 2 ? 1, ?k ?k 2
同理可得 k ? ?6 .
【方法总结】当等式中含有参数,主要分类讨论.
10.已知顶点 A?3,0?和定圆 C : ?x ? 3?2 ? y 2 ? 16 ,动圆和圆 C 相外切,并且过点 A ,求
动圆圆心 P 的轨迹方程.
【审题要津】利用双曲线的定义.
解:设动圆半径为 r ,圆心为 P?x, y?,定圆 C 的圆心为 C?? 3,0?,半径为 4 .由*面几何
知识有
PC ? r ? 4, PA ? r ,
? PC ? PA ? 4 , ?动点 P 的估计为双曲线右支. c ? 3, a ? 2, b2 ? c 2 ? a 2 ? 5 , ?圆心 P 的轨迹方程为
x 2 ? y 2 ? 1 . (x ? 0) 45
【方法总结】注意双曲线的定义,这只是右支.

1.如果双曲线的焦点在坐标轴上,并且关于原点对称,那么双曲线的方程式标准的,否则
是不标准的.求双曲线的标准方程就是求 a 、 b ,并且判断焦点所在的坐标轴. a 、 b 、 c 之间的关系是 a 2 ? b2 ? c 2 .

2.当 P 满足 0 ? PF1 ? PF2 ? F1F2 时,点 P 的轨迹是双曲线一支;当

0 ? PF2 ? PF1 ? F1F2 时,点 P 的轨迹是双曲线的另一支;当 PF1 ? PF2 ? ? F1F2 时,

点 P 的轨迹是两条射线. PF1 ? PF2 不肯大于 F1F2 .

3.已知 PF1

求 PF2

理,并且对 PF1 ? PF2 ? ?a 进行*方.

可以利用 PF1

?

PF2

? ?a .已知 ?F1PF2

10

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电,力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决,机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配,料置而试时且卷,可调需保控要障试在各验最类;大管对限路设度*备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安,与全要过,加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料;中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整,中核或资对者料定对试值某卷,些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置,卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线,高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试,高方要中案求资,技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高,料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术,以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案,中;为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中,料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工,置作合调并理试且利技进用术行管,过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指:灵导在活。分。对线对于盒于调处差试,动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术,调问应试题采技,用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一,隔变需开压要处器在理组事;在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资,障料强时、电,设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具*源高题高中电中资源资料,料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与,采相要用关进高技行中术检资资查料料和试,检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

? ? 时,往往利用勾股定 2


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